Algebra Beispiele

$y = 2^{3 x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2^{3 y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2^{3 y - 1} = x$ um.

$2^{3 y - 1} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{3 y - 1}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (2^{3 y - 1})$ durch Herausziehen von $3 y - 1$ aus dem Logarithmus.

$(3 y - 1) \ln (2) = \ln (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $(3 y - 1) \ln (2)$ .

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Schritt 2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x)$

Schritt 2.4.1.2

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$3 y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x)$

Schritt 2.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x) = 0$

Schritt 2.6

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Addiere $\ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y \ln (2) - \ln (x) = \ln (2)$

Schritt 2.6.2

Addiere $\ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$

Schritt 2.7

Teile jeden Ausdruck in $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ durch $3 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ durch $3 \ln (2)$ .

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Schritt 2.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Schritt 2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Schritt 2.7.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 2.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Schritt 2.7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2^{3 x - 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1}$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{\ln (2^{3 x - 1})}{3 \ln (2)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Zerlege $\ln (2^{3 x - 1})$ durch Herausziehen von $3 x - 1$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Schritt 4.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{3 x - 1}{3}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1 + 3 x - 1}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 3 x - 1$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) - 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Vereinfache $3 \ln (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (2^{3})}) - 1}$

Schritt 4.3.3.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Schritt 4.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Schritt 4.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Schritt 4.3.3.4

Multipliziere $3 \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{3 \ln (x)}{\ln (8)} - 1}$

Schritt 4.3.3.4.2

Vereinfache $3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1}$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $0$ und $\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$