Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 9 x + 4} \div \frac{2 x^{2} + 14 x + 24}{4 x + 4}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 9 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2} - 9 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 9 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 9 (x) + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 9$ um als $- 1$ plus $- 8$

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x - 1) (x - 4)} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x - 1) (x - 4)} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x + 4$ und $2 x^{2} + 14 x + 24$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x) + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x) + 2 \cdot 2}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Schritt 5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2}) + 14 x + 24}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $14 x$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2}) + 2 (7 x) + 24}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (7 x)$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x) + 24}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x) + 2 \cdot 12}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 7 x) + 2 \cdot 12$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x + 12)}$

Schritt 5.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x + 12)}$

Schritt 5.4.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 2}{x^{2} + 7 x + 12}$

Schritt 6

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x) + 2}{x^{2} + 7 x + 12}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x) + 2 (1)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{(x + 3) (x + 4)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x + 3) (x + 4)$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{(x + 4) (x + 3)}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{(x + 4) (x + 3)}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{x + 3}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x - 1}$ mit $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot 1}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Schritt 12

Zerlege den Bruch $\frac{2 x + 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$ in zwei Brüche.

$\frac{2 x}{(2 x - 1) (x + 3)} + \frac{2}{(2 x - 1) (x + 3)}$