Algebra Beispiele

y = f (2 x)

$y = f (2 x)$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere

f (2 x)

$f (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

y - f (2 x) = 0

$y - f (2 x) = 0$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

y - 1 \cdot 2 f x = 0

$y - 1 \cdot 2 f x = 0$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

y - 2 f x = 0

$y - 2 f x = 0$

y - 2 f x = 0

$y - 2 f x = 0$

Schritt 1.1.3

Stelle

y

$y$ und

- 2 f x

$- 2 f x$ um.

- 2 f x + y = 0

$- 2 f x + y = 0$

- 2 f x + y = 0

$- 2 f x + y = 0$

Schritt 1.2

Teile jeden Term durch

0

$0$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

- \frac{2 f x}{0} + \frac{y}{0} = \frac{0}{0}

$- \frac{2 f x}{0} + \frac{y}{0} = \frac{0}{0}$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich

1

$1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich

1

$1$ ist.

y - f x = 1

$y - f x = 1$

y - f x = 1

$y - f x = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable

h

$h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar,

k

$k$ das y-Offset vom Ursprung,

a

$a$ .

a = 1

$a = 1$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von

(h, k)

$(h, k)$ . Setze die Werte von

h

$h$ und

k

$k$ ein.

(0, 0)

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne

c

$c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in der Formel.

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\sqrt{1 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\sqrt{1 + 1}

$\sqrt{1 + 1}$

Schritt 5.3.3

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von

a

$a$ zu

h

$h$ ermittelt werden.

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

a

$a$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

(1, 0)

$(1, 0)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von

a

$a$ von

h

$h$ ermittelt werden.

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

a

$a$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

(1, 0), (- 1, 0)

$(1, 0), (- 1, 0)$

(1, 0), (- 1, 0)

$(1, 0), (- 1, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von

c

$c$ zu

h

$h$ gefunden werden.

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

c

$c$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

(\sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von

c

$c$ von

h

$h$ ermittelt werden.

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

c

$c$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

(- \sqrt{2}, 0)

$(- \sqrt{2}, 0)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel ein.

\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Dividiere

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ durch

1

$1$ .

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 8.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\sqrt{1 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Schritt 8.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\sqrt{1 + 1}

$\sqrt{1 + 1}$

Schritt 8.3.4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von

b

$b$ und

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ mit

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ mit

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ als

2

$2$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ als

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form

y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

y = \pm 1 \cdot x + 0

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Schritt 11

Vereinfache

1 \cdot x + 0

$1 \cdot x + 0$ .

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Schritt 11.1

Addiere

1 \cdot x

$1 \cdot x$ und

0

$0$ .

y = 1 \cdot x

$y = 1 \cdot x$

Schritt 11.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

y = x

$y = x$

y = x

$y = x$

Schritt 12

Vereinfache

- 1 \cdot x + 0

$- 1 \cdot x + 0$ .

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Schritt 12.1

Addiere

- 1 \cdot x

$- 1 \cdot x$ und

0

$0$ .

y = - 1 \cdot x

$y = - 1 \cdot x$

Schritt 12.2

Schreibe

- 1 x

$- 1 x$ als

- x

$- x$ um.

y = - x

$y = - x$

y = - x

$y = - x$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

y = x, y = - x

$y = x, y = - x$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt:

(0, 0)

$(0, 0)$

Scheitelpunkte:

(1, 0), (- 1, 0)

$(1, 0), (- 1, 0)$

Brennpunkte:

(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Exzentrizität:

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Fokaler Parameter:

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asymptoten:

y = x

$y = x$ ,

y = - x

$y = - x$

Schritt 15