Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 8 x + 15}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x + 6}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 8 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $8$ ist.

$3, 5$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x + 6}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x + 6}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x + 6}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x) + 6}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x + 2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 3)}$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $2 (x + 3)$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) \cdot 2}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) \cdot 2}$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 5}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $(x + 4) (x - 4)$ heraus.

$\frac{x + 5}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 5}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(x + 5) \cdot \frac{x + 4}{2}$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{x + 4}{2} + 5 \frac{x + 4}{2}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $x$ und $\frac{x + 4}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + 5 \frac{x + 4}{2}$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $5$ und $\frac{x + 4}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + \frac{5 (x + 4)}{2}$

Schritt 3.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + 4) + 5 (x + 4)}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 5 (x + 4)}{2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 5 (x + 4)}{2}$

Schritt 3.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 5 (x + 4)}{2}$

Schritt 3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 4 x + 5 x + 5 \cdot 4}{2}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 5 x + 20}{2}$

Schritt 3.4

Addiere $4 x$ und $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{2}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $9$ ist.

$4, 5$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 4) (x + 5)}{2}$