Algebra Beispiele

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 3) = \log_{4} (- 7 x + 21)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x - 3)) = \log_{4} (- 7 x + 21)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 3) = \log_{4} (- 7 x + 21)$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot - 3) = \log_{4} (- 7 x + 21)$

Schritt 1.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 3 x) = \log_{4} (- 7 x + 21)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - 3 x = - 7 x + 21$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $7 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + 7 x = 21$

Schritt 3.1.2

Addiere $- 3 x$ und $7 x$ .

$x^{2} + 4 x = 21$

Schritt 3.2

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x - 21 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 21$ und deren Summe $4$ ist.

$- 3, 7$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 7) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.6

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 7$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 3) = \log_{4} (- 7 x + 21)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$