Algebra Beispiele

$\sqrt{x - 2} = x - 8$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x - 2}}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x - 2 = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x - 8)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x - 8)}^{2}$ als $(x - 8) (x - 8)$ um.

$x - 2 = (x - 8) (x - 8)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x - 8) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x - 2 = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$x - 2 = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$x - 2 = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$x - 2 = x^{2} - 16 x + 64$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 16 x + 64 = x - 2$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 16 x + 64 - x = - 2$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 16 x$ .

$x^{2} - 17 x + 64 = - 2$

Schritt 3.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 17 x + 64 + 2 = 0$

Schritt 3.4

Addiere $64$ und $2$ .

$x^{2} - 17 x + 66 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x^{2} - 17 x + 66$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $66$ und deren Summe $- 17$ ist.

$- 11, - 6$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 11) (x - 6) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 11$ gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 11$

Schritt 3.8

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 11) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 11, 6$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x - 2} = x - 8$ nicht erfüllen.

$x = 11$