Algebra Beispiele

$\log_{3} (18 x^{3}) - \log_{3} (2 x) = \log_{3} (144)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{18 x^{3}}{2 x}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{3}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 x}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\log_{3} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 (x)}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 x}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{9 x^{3}}{x}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{x (9 x^{2})}{x}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{3} (\frac{x (9 x^{2})}{x}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{x (9 x^{2})}{x \cdot 1}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{x (9 x^{2})}{x \cdot 1}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{9 x^{2}}{1}) = \log_{3} (144)$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $9 x^{2}$ durch $1$ .

$\log_{3} (9 x^{2}) = \log_{3} (144)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$9 x^{2} = 144$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = 144$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = 144$ durch $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{144}{9}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{144}{9}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{144}{9}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Dividiere $144$ durch $9$ .

$x^{2} = 16$

Schritt 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (18 x^{3}) - \log_{3} (2 x) = \log_{3} (144)$ nicht erfüllen.

$x = 4$