Algebra Beispiele

$\log_{7} (3 x^{3} + x) - \log_{7} (x) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{3 x^{3} + x}{x}) = 2$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\log_{7} (\frac{x (3 x^{2}) + x}{x}) = 2$

Schritt 1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{7} (\frac{x (3 x^{2}) + x}{x}) = 2$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\log_{7} (\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1}{x}) = 2$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{2}) + x \cdot 1$ heraus.

$\log_{7} (\frac{x (3 x^{2} + 1)}{x}) = 2$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{7} (\frac{x (3 x^{2} + 1)}{x}) = 2$

Schritt 1.3.2

Dividiere $3 x^{2} + 1$ durch $1$ .

$\log_{7} (3 x^{2} + 1) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{7} (3 x^{2} + 1) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$7^{2} = 3 x^{2} + 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} + 1 = 7^{2}$ um.

$3 x^{2} + 1 = 7^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$3 x^{2} + 1 = 49$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 49 - 1$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $1$ von $49$ .

$3 x^{2} = 48$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 48$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 48$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{48}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{48}{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $48$ durch $3$ .

$x^{2} = 16$

Schritt 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 3.6

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 3.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{7} (3 x^{3} + x) - \log_{7} (x) = 2$ nicht erfüllen.

$x = 4$