Algebra Beispiele

$2 \log_{9} (x) = \log_{9} (8) + \log_{9} (x - 2)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{9} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{9} (x^{2}) = \log_{9} (8) + \log_{9} (x - 2)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\log_{9} (8) + \log_{9} (x - 2)$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} (x^{2}) = \log_{9} (8 (x - 2))$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x^{2}) = \log_{9} (8 x + 8 \cdot - 2)$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\log_{9} (x^{2}) = \log_{9} (8 x - 16)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} = 8 x - 16$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 8 x = - 16$

Schritt 4.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 8 x + 16 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x^{2} - 8 x + 4^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 4.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$