Algebra Beispiele

$\frac{(1 + 2 \sqrt{- 3})}{(1 + \sqrt{- 3})}$

Schritt 1

Ziehe die imaginäre Einheit $i$ heraus.

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Schritt 1.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{1 + 2 \sqrt{- 1 (3)}}{1 + \sqrt{- 3}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$\frac{1 + 2 (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Schritt 1.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Schritt 1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1 (3)}}$

Schritt 1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}$

Schritt 1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{1 + 2 i \cdot \sqrt{3}}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 - i \cdot \sqrt{3}}{1 - i \cdot \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + 2 i \cdot \sqrt{3}}{1 + i \cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - i \cdot \sqrt{3}}{1 - i \cdot \sqrt{3}}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1 + 2 i \cdot \sqrt{3}}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 - i \cdot \sqrt{3}}{1 - i \cdot \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + 2 i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}{(1 + i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(1 + 2 i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}{1 - (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$\frac{(1 + 2 i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4

Multipliziere $(1 + 2 i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 - i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 (- i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- i \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5.1.4

Multipliziere $2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 5.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 5.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 5.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 5.1.4.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5.1.4.7

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Schritt 5.1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 5.1.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 5.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 5.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 5.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 5.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 5.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{1}}{4}$

Schritt 5.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{4}$

Schritt 5.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 6}{4}$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{- i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 7}{4}$

Schritt 5.3

Addiere $- i \sqrt{3}$ und $2 i \sqrt{3}$ .

$\frac{1 i \sqrt{3} + 7}{4}$

Schritt 6

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i \sqrt{3} + 7}{4}$

Schritt 7

Stelle $i \sqrt{3}$ und $7$ um.

$\frac{7 + i \sqrt{3}}{4}$