Algebra Beispiele

$\frac{(1 + 2 \sqrt{- 3})}{(1 + \sqrt{- 3})}$

Schritt 1

Ziehe die imaginäre Einheit $i$ heraus.

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Schritt 1.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{1 + 2 \sqrt{- 1 (3)}}{1 + \sqrt{- 3}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$\frac{1 + 2 (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Schritt 1.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Schritt 1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1 (3)}}$

Schritt 1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}$

Schritt 1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + 1.7320508 \cdot i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1.7320508 \cdot i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + 1.7320508 \cdot i} \cdot \frac{1 - 1.7320508 i}{1 - 1.7320508 i}$

Schritt 3

Multipliziere.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{(1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})) (1 - 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$\frac{(1 + 2 i \sqrt{3}) (1 - 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(1 + 2 i \sqrt{3}) (1 - 1.7320508 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 - 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3} (1 - 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3} (1 - 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 (- 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1.7320508 i$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4

Multipliziere $2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)$ .

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Schritt 3.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1.7320508$ mit $2$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 3.46410161 i \sqrt{3} i}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $- 3.46410161$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 i i}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 (i^{1} i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 (i^{1} i^{1})}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 i^{1 + 1}}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 i^{2}}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 \cdot - 1}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} + 6}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 (1 - 1.7320508 i) + 1.7320508 \cdot i (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.7320508 i) + 1.7320508 \cdot i (1 - 1.7320508 i)}$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.7320508 i) + 1.7320508 \cdot i \cdot 1 + 1.7320508 \cdot i (- 1.7320508 i)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 1 (- 1.7320508 i) + 1.7320508 \cdot i \cdot 1 + 1.7320508 \cdot i (- 1.7320508 i)}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1.7320508$ mit $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i \cdot 1 + 1.7320508 \cdot i (- 1.7320508 i)}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $1.7320508$ mit $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i + 1.7320508 \cdot i (- 1.7320508 i)}$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1.7320508$ mit $1.7320508$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot i i}$

Schritt 3.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot (i^{1} i)}$

Schritt 3.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot (i^{1} i^{1})}$

Schritt 3.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot i^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot i^{2}}$

Schritt 3.3.2.9

Addiere $- 1.7320508 i$ und $1.7320508 \cdot i$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 0 i - 3 \cdot i^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $i$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 0 - 3 \cdot i^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 0 - 3 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 0 + 3}$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 3}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4

Schreibe $7$ als $1 (7)$ um.

$\frac{1 (7) - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere $1$ aus $- 1.7320508 i$ heraus.

$\frac{1 (7) + 1 (- 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 6

Faktorisiere $1$ aus $1 (7) + 1 (- 1.7320508 i)$ heraus.

$\frac{1 (7 - 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 7

Faktorisiere $1$ aus $2 i \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{1 (7 - 1.7320508 i) + 1 (2 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8

Faktorisiere $1$ aus $1 (7 - 1.7320508 i) + 1 (2 i \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{1 (7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 9

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1 (7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3})}{4 (1)}$

Schritt 10

Separiere Brüche.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Dividiere $1$ durch $4$ .

$0.25 \frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1}$

Schritt 11.2

Dividiere $7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}$ durch $1$ .

$0.25 (7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3})$

Schritt 12

Wende das Distributivgesetz an.

$0.25 \cdot 7 + 0.25 (- 1.7320508 i) + 0.25 (2 i \sqrt{3})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $0.25$ mit $7$ .

$1.75 + 0.25 (- 1.7320508 i) + 0.25 (2 i \sqrt{3})$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1.7320508$ mit $0.25$ .

$1.75 - 0.4330127 i + 0.25 (2 i \sqrt{3})$

Schritt 13.3

Multipliziere $0.25 (2 i \sqrt{3})$ .

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.25$ .

$1.75 - 0.4330127 i + 0.5 (i \sqrt{3})$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $0.5$ .

$1.75 - 0.4330127 i + 0.8660254 i$

Schritt 14

Addiere $- 0.4330127 i$ und $0.8660254 i$ .

$1.75 + 0.4330127 i$