Algebra Beispiele

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 s - 4} = \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 s - 4} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 s - 4} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 s - 4$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 s$ heraus.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s) - 4} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 s + 2 \cdot - 2} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 s + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 s$ heraus.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 (s) - 4} = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} + (2 - 6) s - 4} = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} + 2 s - 6 s - 4} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{(3 s^{2} + 2 s) - 6 s - 4} = 0$

Schritt 2.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{s (3 s + 2) - 2 (3 s + 2)} = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 s + 2$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - - \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $- - \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} + 1 \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)}$ mit $1$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{s}{3 s + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 (s - 2)}{2 (s - 2)}$ .

$\frac{s}{3 s + 2} \cdot \frac{2 (s - 2)}{2 (s - 2)} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{s + 3}{2 (s - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 s + 2}{3 s + 2}$ .

$\frac{s}{3 s + 2} \cdot \frac{2 (s - 2)}{2 (s - 2)} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} \cdot \frac{3 s + 2}{3 s + 2} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 s + 2) \cdot 2 (s - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{s}{3 s + 2}$ mit $\frac{2 (s - 2)}{2 (s - 2)}$ .

$\frac{s (2 (s - 2))}{(3 s + 2) (2 (s - 2))} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} \cdot \frac{3 s + 2}{3 s + 2} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{s + 3}{2 (s - 2)}$ mit $\frac{3 s + 2}{3 s + 2}$ .

$\frac{s (2 (s - 2))}{(3 s + 2) (2 (s - 2))} + \frac{(s + 3) (3 s + 2)}{2 (s - 2) (3 s + 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(3 s + 2) (2 (s - 2))$ um.

$\frac{s (2 (s - 2))}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{(s + 3) (3 s + 2)}{2 (s - 2) (3 s + 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren von $2 (s - 2) (3 s + 2)$ um.

$\frac{s (2 (s - 2))}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{(s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{s (2 (s - 2)) + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 s (s - 2) + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 s \cdot s + 2 s \cdot - 2 + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.3

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1

Bewege $s$ .

$\frac{2 (s \cdot s) + 2 s \cdot - 2 + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.3.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$\frac{2 s^{2} + 2 s \cdot - 2 + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.5

Multipliziere $(s + 3) (3 s + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 s^{2} - 4 s + s (3 s + 2) + 3 (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 s^{2} - 4 s + s (3 s) + s \cdot 2 + 3 (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 s^{2} - 4 s + s (3 s) + s \cdot 2 + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s \cdot s + s \cdot 2 + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.6.1.2

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.6.1.2.1

Bewege $s$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 (s \cdot s) + s \cdot 2 + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.6.1.2.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + s \cdot 2 + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.6.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $s$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + 2 \cdot s + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.6.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + 2 s + 9 s + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + 2 s + 9 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.6.2

Addiere $2 s$ und $9 s$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + 11 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.7

Addiere $2 s^{2}$ und $3 s^{2}$ .

$\frac{5 s^{2} - 4 s + 11 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.6.8

Addiere $- 4 s$ und $11 s$ .

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.7

Um $\frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Schritt 2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (3 s + 2) (s - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $\frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s \cdot 2}{(3 s + 2) (s - 2) \cdot 2} = 0$

Schritt 2.8.2

Stelle die Faktoren von $(3 s + 2) (s - 2) \cdot 2$ um.

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6 + 2 s \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6 + 4 s}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.10.2

Addiere $7 s$ und $4 s$ .

$\frac{5 s^{2} + 11 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.10.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 2.10.3.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 s$ heraus.

$\frac{5 s^{2} + 11 (s) + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3.1.2

Schreibe $11$ um als $5$ plus $6$

$\frac{5 s^{2} + (5 + 6) s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 s^{2} + 5 s + 6 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.10.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 s^{2} + 5 s) + 6 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{5 s (s + 1) + 6 (s + 1)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $s + 1$ .

$\frac{(s + 1) (5 s + 6)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(s + 1) (5 s + 6) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $s$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$s + 1 = 0$

$5 s + 6 = 0$

Schritt 4.2

Setze $s + 1$ gleich $0$ und löse nach $s$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $s + 1$ gleich $0$ .

$s + 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$s = - 1$

Schritt 4.3

Setze $5 s + 6$ gleich $0$ und löse nach $s$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $5 s + 6$ gleich $0$ .

$5 s + 6 = 0$

Schritt 4.3.2

Löse $5 s + 6 = 0$ nach $s$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 s = - 6$

Schritt 4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 s = - 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 s = - 6$ durch $5$ .

$\frac{5 s}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 s}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $s$ durch $1$ .

$s = \frac{- 6}{5}$

Schritt 4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$s = - \frac{6}{5}$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(s + 1) (5 s + 6) = 0$ wahr machen.

$s = - 1, - \frac{6}{5}$