Algebra Beispiele

$x = {(y - 2)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache

${(y - 2)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe

${(y - 2)}^{2}$ als

$(y - 2) (y - 2)$ um.

$x = (y - 2) (y - 2)$

Schritt 1.2

Multipliziere

$(y - 2) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = y (y - 2) - 2 (y - 2)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere

$y$ mit

$y$ .

$x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3.1.2

Bringe

$- 2$ auf die linke Seite von

$y$ .

$x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 2$ .

$x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere

$2 y$ von

$- 2 y$ .

$x = y^{2} - 4 y + 4$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf

$y^{2} - 4 y + 4$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

$a$ ,

$b$ und

$c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 4$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von

$d$ mithilfe der Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von

$a$ und

$b$ in die Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 4$ und

$2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.4

Dividiere

$- 2$ durch

$1$ .

$d = - 2$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 4 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

${(- 4)}^{2}$ und

$4$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.1

Schreibe

$- 4$ als

$- 1 (4)$ um.

$e = 4 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf

$- 1 (4)$ an.

$e = 4 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.3

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$e = 4 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.4

Mutltipliziere

$4^{2}$ mit

$1$ .

$e = 4 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.5

Faktorisiere

$4$ aus

$4^{2}$ heraus.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere

$4$ aus

$4 \cdot 1$ heraus.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 4 - \frac{4}{1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6.4

Dividiere

$4$ durch

$1$ .

$e = 4 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$e = 4 - 4$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Subtrahiere

$4$ von

$4$ .

$e = 0$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

${(y - 2)}^{2} + 0$ ein.

${(y - 2)}^{2} + 0$

Schritt 2.1.2

Setze

$x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = {(y - 2)}^{2} + 0$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform,

$x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von

$a$ ,

$h$ und

$k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 0$

$k = 2$

Schritt 2.3

Da der Wert von

$a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt

$(h, k)$ .

$(0, 2)$

Schritt 2.5

Berechne

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von

$a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

$p$ zur x-Koordinate

$h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{4}, 2)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 2$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von

$p$ von der x-Koordinate

$h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von

$p$ und

$h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt:

$(0, 2)$

Brennpunkt:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Symmetrieachse:

$y = 2$

Leitlinie:

$x = - \frac{1}{4}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt:

$(0, 2)$

Brennpunkt:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Symmetrieachse:

$y = 2$

Leitlinie:

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Wähle einige

$x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden

$y$ -Werte zu ermitteln. Die

$x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Setze den

$x$ -Wert

$1$ in

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt

$(1, 3)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Schritt 3.1.2.2

Jede Wurzel von

$1$ ist

$1$ .

$f (1) = 1 + 2$

Schritt 3.1.2.3

Addiere

$1$ und

$2$ .

$f (1) = 3$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist

$3$ .

$y = 3$

Schritt 3.1.3

Konvertiere

$3$ nach Dezimal.

$= 3$

Schritt 3.2

Setze den

$x$ -Wert

$1$ in

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt

$(1, 1)$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Jede Wurzel von

$1$ ist

$1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 2$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$f (1) = - 1 + 2$

Schritt 3.2.2.3

Addiere

$- 1$ und

$2$ .

$f (1) = 1$

Schritt 3.2.2.4

Die endgültige Lösung ist

$1$ .

$y = 1$

Schritt 3.2.3

Konvertiere

$1$ nach Dezimal.

$= 1$

Schritt 3.3

Setze den

$x$ -Wert

$2$ in

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt

$(2, 3.41421356)$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$2$ .

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Schritt 3.3.2.2

Die endgültige Lösung ist

$\sqrt{2} + 2$ .

$y = \sqrt{2} + 2$

Schritt 3.3.3

Konvertiere

$\sqrt{2} + 2$ nach Dezimal.

$= 3.41421356$

Schritt 3.4

Setze den

$x$ -Wert

$2$ in

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt

$(2, 0.58578643)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$2$ .

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Schritt 3.4.2.2

Die endgültige Lösung ist

$- \sqrt{2} + 2$ .

$y = - \sqrt{2} + 2$

Schritt 3.4.3

Konvertiere

$- \sqrt{2} + 2$ nach Dezimal.

$= 0.58578643$

Schritt 3.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt:

$(0, 2)$

Brennpunkt:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Symmetrieachse:

$y = 2$

Leitlinie:

$x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Schritt 5