Algebra Beispiele

$y = x - x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + x$

Schritt 1.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + x$ an.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 1.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.1.2.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ ein.

$- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

Symmetrieachse: $x = \frac{1}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{1}{2}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

Symmetrieachse: $x = \frac{1}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} - 1$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} - 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 1$

Schritt 2.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 1$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (- 1) = - 2$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} - 2$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Entferne die Klammern.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} - 2$

Schritt 2.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 4 - 2$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 2) = - 4 - 2$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$f (- 2) = - 6$

Schritt 2.5.4

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - {(1)}^{2} + 1$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 1$

Schritt 2.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 2.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Schritt 2.8.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.8.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = - 4 + 2$

Schritt 2.11.3

Addiere $- 4$ und $2$ .

$f (2) = - 2$

Schritt 2.11.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & - 2 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

Symmetrieachse: $x = \frac{1}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & - 2 \end{array}$

Schritt 4