Algebra Beispiele

$y = 4 x - x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Stelle

$4 x$ und

$- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 4 x$

Schritt 1.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf

$- x^{2} + 4 x$ an.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Form

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

$a$ ,

$b$ und

$c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Schritt 1.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.2.3

Ermittle den Wert von

$d$ mithilfe der Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Setze die Werte von

$a$ und

$b$ in die Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$4$ und

$2$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1.1

Faktorisiere

$2$ aus

$4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von

$\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.1.2.4

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$4^{2}$ und

$4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere

$4$ aus

$4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von

$\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2

Multipliziere

$- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$e = 0 - - 4$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 4$ .

$e = 0 + 4$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Addiere

$0$ und

$4$ .

$e = 4$

Schritt 1.1.2.5

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

$- {(x - 2)}^{2} + 4$ ein.

$- {(x - 2)}^{2} + 4$

Schritt 1.1.3

Setze

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - 2)}^{2} + 4$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

$a$ ,

$h$ und

$k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 4$

Schritt 1.3

Da der Wert von

$a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt

$(h, k)$ .

$(2, 4)$

Schritt 1.5

Berechne

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von

$a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$1$ und

$- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe

$1$ als

$- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

$p$ zur y-Koordinate

$k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, \frac{15}{4})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 2$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von

$p$ von der y-Koordinate

$k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{17}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt:

$(2, 4)$

Brennpunkt:

$(2, \frac{15}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 2$

Leitlinie:

$y = \frac{17}{4}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt:

$(2, 4)$

Brennpunkt:

$(2, \frac{15}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 2$

Leitlinie:

$y = \frac{17}{4}$

Schritt 2

Wähle einige

$x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden

$y$ -Werte zu ermitteln. Die

$x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f (1) = - {(1)}^{2} + 4 (1)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 4 (1)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4 (1)$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4$

Schritt 2.2.2

Addiere

$- 1$ und

$4$ .

$f (1) = 3$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist

$3$ .

$3$

Schritt 2.3

Der

$y$ -Wert bei

$x = 1$ ist

$3$ .

$y = 3$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$0$ .

$f (0) = - {(0)}^{2} + 4 (0)$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$f (0) = - 0 + 4 (0)$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist

$0$ .

$0$

Schritt 2.6

Der

$y$ -Wert bei

$x = 0$ ist

$0$ .

$y = 0$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$3$ .

$f (3) = - {(3)}^{2} + 4 (3)$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere

$3$ mit

$2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 4 (3)$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$9$ .

$f (3) = - 9 + 4 (3)$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$3$ .

$f (3) = - 9 + 12$

Schritt 2.8.2

Addiere

$- 9$ und

$12$ .

$f (3) = 3$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist

$3$ .

$3$

Schritt 2.9

Der

$y$ -Wert bei

$x = 3$ ist

$3$ .

$y = 3$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$4$ .

$f (4) = - {(4)}^{2} + 4 (4)$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1.1

Potenziere

$4$ mit

$2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 4 (4)$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$16$ .

$f (4) = - 16 + 4 (4)$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$4$ .

$f (4) = - 16 + 16$

Schritt 2.11.2

Addiere

$- 16$ und

$16$ .

$f (4) = 0$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist

$0$ .

$0$

Schritt 2.12

Der

$y$ -Wert bei

$x = 4$ ist

$0$ .

$y = 0$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt:

$(2, 4)$

Brennpunkt:

$(2, \frac{15}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 2$

Leitlinie:

$y = \frac{17}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Schritt 4