Algebra Beispiele

3 \log (x) = \log (27)

$3 \log (x) = \log (27)$

Schritt 1

Vereinfache

3 \log (x)

$3 \log (x)$ , indem du

3

$3$ in den Logarithmus ziehst.

\log (x^{3}) = \log (27)

$\log (x^{3}) = \log (27)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

x^{3} = 27

$x^{3} = 27$

Schritt 3

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere

27

$27$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{3} - 27 = 0

$x^{3} - 27 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe

27

$27$ als

3^{3}

$3^{3}$ um.

x^{3} - 3^{3} = 0

$x^{3} - 3^{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

a = x

$a = x$ und

b = 3

$b = 3$ .

(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe

3

$3$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

x^{2} + 3 x + 9 = 0

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Schritt 3.4

Setze

x - 3

$x - 3$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze

x - 3

$x - 3$ gleich

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Schritt 3.5

Setze

x^{2} + 3 x + 9

$x^{2} + 3 x + 9$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze

x^{2} + 3 x + 9

$x^{2} + 3 x + 9$ gleich

0

$0$ .

x^{2} + 3 x + 9 = 0

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse

x^{2} + 3 x + 9 = 0

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.2.2

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = 3

$b = 3$ und

c = 9

$c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach

x

$x$ auf.

\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot 9

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

9

$9$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Subtrahiere

36

$36$ von

9

$9$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.4

Schreibe

- 27

$- 27$ als

- 1 (27)

$- 1 (27)$ um.

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.5

Schreibe

\sqrt{- 1 (27)}

$\sqrt{- 1 (27)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.6

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.7

Schreibe

27

$27$ als

3^{2} \cdot 3

$3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere

9

$9$ aus

27

$27$ heraus.

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.7.2

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.9

Bringe

3

$3$ auf die linke Seite von

i

$i$ .

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ wahr machen.

x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$