Algebra Beispiele

f (x) = x^{2} - 4 x - 1

$f (x) = x^{2} - 4 x - 1$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf

x^{2} - 4 x - 1

$x^{2} - 4 x - 1$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = 1

$a = 1$

b = - 4

$b = - 4$

c = - 1

$c = - 1$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 4

$- 4$ und

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 4

$- 4$ heraus.

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ heraus.

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

d = \frac{- 2}{1}

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.4

Dividiere

- 2

$- 2$ durch

1

$1$ .

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von

e

$e$ mithilfe der Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von

c

$c$ ,

b

$b$ , und

a

$a$ in die Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

{(- 4)}^{2}

${(- 4)}^{2}$ und

4

$4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.1

Schreibe

- 4

$- 4$ als

- 1 (4)

$- 1 (4)$ um.

e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf

- 1 (4)

$- 1 (4)$ an.

e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.3

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.4

Mutltipliziere

4^{2}

$4^{2}$ mit

1

$1$ .

e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.5

Faktorisiere

4

$4$ aus

4^{2}

$4^{2}$ heraus.

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$ heraus.

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

e = - 1 - \frac{4}{1}

$e = - 1 - \frac{4}{1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6.4

Dividiere

4

$4$ durch

1

$1$ .

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

4

$4$ .

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Subtrahiere

4

$4$ von

- 1

$- 1$ .

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von

a

$a$ ,

d

$d$ und

e

$e$ in die Scheitelform

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$ ein.

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

Schritt 1.1.2

Setze

y

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ zu ermitteln.

a = 1

$a = 1$

h = 2

$h = 2$

k = - 5

$k = - 5$

Schritt 1.3

Da der Wert von

a

$a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt

(h, k)

$(h, k)$ .

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Schritt 1.5

Berechne

p

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von

a

$a$ in die Formel ein.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

1

$1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

p

$p$ zur y-Koordinate

k

$k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

p

$p$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

x = 2

$x = 2$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von

p

$p$ von der y-Koordinate

k

$k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

y = k - p

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von

p

$p$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Brennpunkt:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Symmetrieachse:

x = 2

$x = 2$

Leitlinie:

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Brennpunkt:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Symmetrieachse:

x = 2

$x = 2$

Leitlinie:

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

Schritt 2

Wähle einige

x

$x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden

y

$y$ -Werte zu ermitteln. Die

x

$x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

1

$1$ .

f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere

4

$4$ von

1

$1$ .

f (1) = - 3 - 1

$f (1) = - 3 - 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere

1

$1$ von

- 3

$- 3$ .

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist

- 4

$- 4$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

Schritt 2.3

Der

y

$y$ -Wert bei

x = 1

$x = 1$ ist

- 4

$- 4$ .

y = - 4

$y = - 4$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

0

$0$ .

f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Addiere

0

$0$ und

0

$0$ .

f (0) = 0 - 1

$f (0) = 0 - 1$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere

1

$1$ von

0

$0$ .

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Schritt 2.6

Der

y

$y$ -Wert bei

x = 0

$x = 0$ ist

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

3

$3$ .

f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 1

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 1$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.1

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 1

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 1$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

3

$3$ .

f (3) = 9 - 12 - 1

$f (3) = 9 - 12 - 1$

f (3) = 9 - 12 - 1

$f (3) = 9 - 12 - 1$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere

12

$12$ von

9

$9$ .

f (3) = - 3 - 1

$f (3) = - 3 - 1$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere

1

$1$ von

- 3

$- 3$ .

f (3) = - 4

$f (3) = - 4$

f (3) = - 4

$f (3) = - 4$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist

- 4

$- 4$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

Schritt 2.9

Der

y

$y$ -Wert bei

x = 3

$x = 3$ ist

- 4

$- 4$ .

y = - 4

$y = - 4$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

4

$4$ .

f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1.1

Potenziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 1

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 1$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

4

$4$ .

f (4) = 16 - 16 - 1

$f (4) = 16 - 16 - 1$

f (4) = 16 - 16 - 1

$f (4) = 16 - 16 - 1$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.2.1

Subtrahiere

16

$16$ von

16

$16$ .

f (4) = 0 - 1

$f (4) = 0 - 1$

Schritt 2.11.2.2

Subtrahiere

1

$1$ von

0

$0$ .

f (4) = - 1

$f (4) = - 1$

f (4) = - 1

$f (4) = - 1$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Schritt 2.12

Der

y

$y$ -Wert bei

x = 4

$x = 4$ ist

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

\begin{matrix} x & y 0 & - 1 1 & - 4 2 & - 5 3 & - 4 4 & - 1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

\begin{matrix} x & y 0 & - 1 1 & - 4 2 & - 5 3 & - 4 4 & - 1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Brennpunkt:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Symmetrieachse:

x = 2

$x = 2$

Leitlinie:

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

\begin{matrix} x & y 0 & - 1 1 & - 4 2 & - 5 3 & - 4 4 & - 1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Schritt 4