Algebra Beispiele

f (x) = - 2 x^{3} + 1

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$

Schritt 1

Schreibe

f (x) = - 2 x^{3} + 1

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ als Gleichung.

y = - 2 x^{3} + 1

$y = - 2 x^{3} + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

x = - 2 y^{3} + 1

$x = - 2 y^{3} + 1$

Schritt 3

Löse nach

y

$y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

- 2 y^{3} + 1 = x

$- 2 y^{3} + 1 = x$ um.

- 2 y^{3} + 1 = x

$- 2 y^{3} + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$ durch

- 2

$- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$ durch

- 2

$- 2$ .

\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

- 2

$- 2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere

$y^{3}$ durch

$1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache

$\sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe

$\sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$ als

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ mit

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ mit

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Potenziere

$\sqrt[3]{2}$ mit

$1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.4.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.5.4.4

Addiere

$1$ und

$2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 3.5.4.5

Schreibe

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als

$2$ um.

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Schritt 3.5.4.5.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt[3]{2}$ als

$2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.5.4.5.3

Kombiniere

$\frac{1}{3}$ und

$3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 3.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.5.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.5.1

Schreibe

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als

$\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 3.5.5.2

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$

Schritt 3.5.6.2

Stelle die Faktoren in

$\frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

Schritt 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ die Umkehrfunktion von

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob

$f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von

$f$ in

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3} + 1) + 1)}}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3}) - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 + 1)}}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Addiere

$- 1$ und

$1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

Schritt 5.2.3.5

Addiere

$2 x^{3}$ und

$0$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

Schritt 5.2.3.6

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3.7

Schreibe

$8 x^{3}$ als

${(2 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von

$f^{- 1}$ in

$f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf

$\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe

${\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}$ als

$4 (- x + 1)$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt[3]{4 (- x + 1)}$ als

${(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{({(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Kombiniere

$\frac{1}{3}$ und

$3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.4

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere

$4$ aus

$- 4 x + 4$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.5.1

Faktorisiere

$4$ aus

$- 4 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.5.2

Faktorisiere

$4$ aus

$4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 (1)}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.5.3

Faktorisiere

$4$ aus

$4 (- x) + 4 (1)$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere

$2$ mit

$3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{8} + 1$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{4 (- x + 1)}{8}) + 1$

Schritt 5.3.3.4.2

Faktorisiere

$2$ aus

$8$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

Schritt 5.3.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

Schritt 5.3.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

Schritt 5.3.3.5.2

Dividiere

$- x + 1$ durch

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x + 1) + 1$

Schritt 5.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x) - 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 5.3.3.7

Multipliziere

$- 1 (- x)$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 1 x - 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 5.3.3.7.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 5.3.3.8

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere

$- 1$ und

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere

$x$ und

$0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x$

Schritt 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ und

$f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$