Algebra Beispiele

$f (x) = e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{x}$ als Gleichung.

$y = e^{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = e^{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $e^{y} = x$ um.

$e^{y} = x$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (x)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (x)$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \ln (x)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{x}) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{x}) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Schritt 5.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (x)) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x)$