Algebra Beispiele

$y = 2 x - 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 y - 1$

Schritt 2

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als

$2 y - 1 = x$ um.

$2 y - 1 = x$

Schritt 2.2

Addiere

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = x + 1$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in

$2 y = x + 1$ durch

$2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in

$2 y = x + 1$ durch

$2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere

$y$ durch

$1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3

Ersetze

$y$ durch

$f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von

$f (x) = 2 x - 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob

$f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne

$f^{- 1} (2 x - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von

$f$ in

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x - 1) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 x - 1) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere

$- 1$ und

$1$ .

$f^{- 1} (2 x - 1) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Addiere

$2 x$ und

$0$ .

$f^{- 1} (2 x - 1) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 x - 1) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$f^{- 1} (2 x - 1) = x$

Schritt 4.3

Berechne

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne

$f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von

$f^{- 1}$ in

$f$ .

$f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 1 - 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$x + 1 - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere

$1$ von

$1$ .

$f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere

$x$ und

$0$ .

$f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ und

$f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von

$f (x) = 2 x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$