Algebra Beispiele

2 x^{2} + 5 x - 3 < 0

$2 x^{2} + 5 x - 3 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6

$a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich

b = 5

$b = 5$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere

5

$5$ aus

5 x

$5 x$ heraus.

2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0

$2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe

5

$5$ um als

- 1

$- 1$ plus

6

$6$

2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0

$2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0

$(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

2 x - 1

$2 x - 1$ .

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Setze

2 x - 1

$2 x - 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

2 x - 1

$2 x - 1$ gleich

0

$0$ .

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 x = 1

$2 x = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in

2 x = 1

$2 x = 1$ durch

2

$2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 x = 1

$2 x = 1$ durch

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze

x + 3

$x + 3$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

x + 3

$x + 3$ gleich

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere

3

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

x = \frac{1}{2}, - 3

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall

x < - 3

$x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x < - 3

$x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = - 6

$x = - 6$

Schritt 8.1.2

Ersetze

x

$x$ durch

- 6

$- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 3 < 0

$2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 3 < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite

39

$39$ ist nicht kleiner als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 0

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze

x

$x$ durch

0

$0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3 < 0

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3 < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite

- 3

$- 3$ ist kleiner als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 3

$x = 3$

Schritt 8.3.2

Ersetze

x

$x$ durch

3

$3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

2 {(3)}^{2} + 5 (3) - 3 < 0

$2 {(3)}^{2} + 5 (3) - 3 < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite

30

$30$ ist nicht kleiner als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

x < - 3

$x < - 3$ Falsch

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

x < - 3

$x < - 3$ Falsch

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

Intervallschreibweise:

(- 3, \frac{1}{2})

$(- 3, \frac{1}{2})$

Schritt 11