Algebra Beispiele

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ als Gleichung.

y = \ln (x)

$y = \ln (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

x = \ln (y)

$x = \ln (y)$

Schritt 3

Löse nach

y

$y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

\ln (y) = x

$\ln (y) = x$ um.

\ln (y) = x

$\ln (y) = x$

Schritt 3.2

Um nach

y

$y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

e^{\ln (y)} = e^{x}

$e^{\ln (y)} = e^{x}$

Schritt 3.3

Schreibe

\ln (y) = x

$\ln (y) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn

x

$x$ und

b

$b$ positive reelle Zahlen sind und

b \neq 1

$b \neq 1$ ist, dann ist

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ gleich

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{x} = y

$e^{x} = y$

Schritt 3.4

Schreibe die Gleichung als

y = e^{x}

$y = e^{x}$ um.

y = e^{x}

$y = e^{x}$

y = e^{x}

$y = e^{x}$

Schritt 4

Ersetze

y

$y$ durch

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$ die Umkehrfunktion von

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne

f^{- 1} (\ln (x))

$f^{- 1} (\ln (x))$ durch Einsetzen des Wertes von

f

$f$ in

f^{- 1}

$f^{- 1}$ .

f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}

$f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Schritt 5.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

f^{- 1} (\ln (x)) = x

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

f^{- 1} (\ln (x)) = x

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne

f (e^{x})

$f (e^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von

f^{- 1}

$f^{- 1}$ in

f

$f$ .

f (e^{x}) = \ln (e^{x})

$f (e^{x}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um

x

$x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

f (e^{x}) = x \ln (e)

$f (e^{x}) = x \ln (e)$

Schritt 5.3.4

Der natürliche Logarithmus von

e

$e$ ist

1

$1$ .

f (e^{x}) = x \cdot 1

$f (e^{x}) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

f (e^{x}) = x

$f (e^{x}) = x$

f (e^{x}) = x

$f (e^{x}) = x$

Schritt 5.4

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ und

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ .

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$