Algebra Beispiele

9 x^{2} + 9 x + 2 = 0

$9 x^{2} + 9 x + 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18

$a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ und deren Summe gleich

b = 9

$b = 9$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere

9

$9$ aus

9 x

$9 x$ heraus.

9 x^{2} + 9 (x) + 2 = 0

$9 x^{2} + 9 (x) + 2 = 0$

Schritt 1.1.2

Schreibe

9

$9$ um als

3

$3$ plus

6

$6$

9 x^{2} + (3 + 6) x + 2 = 0

$9 x^{2} + (3 + 6) x + 2 = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

9 x^{2} + 3 x + 6 x + 2 = 0

$9 x^{2} + 3 x + 6 x + 2 = 0$

9 x^{2} + 3 x + 6 x + 2 = 0

$9 x^{2} + 3 x + 6 x + 2 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

(9 x^{2} + 3 x) + 6 x + 2 = 0

$(9 x^{2} + 3 x) + 6 x + 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

3 x (3 x + 1) + 2 (3 x + 1) = 0

$3 x (3 x + 1) + 2 (3 x + 1) = 0$

3 x (3 x + 1) + 2 (3 x + 1) = 0

$3 x (3 x + 1) + 2 (3 x + 1) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

3 x + 1

$3 x + 1$ .

(3 x + 1) (3 x + 2) = 0

$(3 x + 1) (3 x + 2) = 0$

(3 x + 1) (3 x + 2) = 0

$(3 x + 1) (3 x + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

3 x + 1 = 0

$3 x + 1 = 0$

3 x + 2 = 0

$3 x + 2 = 0$

Schritt 3

Setze

3 x + 1

$3 x + 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

3 x + 1

$3 x + 1$ gleich

0

$0$ .

3 x + 1 = 0

$3 x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse

3 x + 1 = 0

$3 x + 1 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

3 x = - 1

$3 x = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in

3 x = - 1

$3 x = - 1$ durch

3

$3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

3 x = - 1

$3 x = - 1$ durch

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Setze

$3 x + 2$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

$3 x + 2$ gleich

$0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse

$3 x + 2 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$3 x = - 2$ durch

$3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$3 x = - 2$ durch

$3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(3 x + 1) (3 x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}$