Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 1$ , $x^{2} - y^{2} = 1$

Schritt 1

Löse in $x^{2} - y^{2} = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1 + y^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 1$

Schritt 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1 + y^{2}}$

$x^{2} + y^{2} = 1$

Schritt 1.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$x^{2} + y^{2} = 1$

Schritt 1.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$x^{2} + y^{2} = 1$

Schritt 1.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$x^{2} + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$x^{2} + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$x^{2} + y^{2} = 1$

Schritt 2

Löse das System $x = \sqrt{1 + y^{2}}, x^{2} + y^{2} = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\sqrt{1 + y^{2}}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 1$ durch $\sqrt{1 + y^{2}}$ .

${(\sqrt{1 + y^{2}})}^{2} + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache ${(\sqrt{1 + y^{2}})}^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ als $1 + y^{2}$ um.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + y^{2}}$ als ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + y^{2}) + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$(1 + y^{2}) + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.5

Vereinfache.

$1 + y^{2} + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$1 + y^{2} + y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$1 + 2 y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$1 + 2 y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$1 + 2 y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$1 + 2 y^{2} = 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2

Löse in $1 + 2 y^{2} = 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} = 1 - 1$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$2 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{2}$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$y^{2} = \frac{0}{2}$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$y^{2} = \frac{0}{2}$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.4.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$y = 0$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

$y = 0$

$x = \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = \sqrt{1 + y^{2}}$ durch $0$ .

$x = \sqrt{1 + {(0)}^{2}}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{1 + {(0)}^{2}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \sqrt{1 + 0}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$x = \sqrt{1}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = 1$

$y = 0$

$x = 1$

$y = 0$

$x = 1$

$y = 0$

$x = 1$

$y = 0$

$x = 1$

$y = 0$

Schritt 3

Löse das System $x = - \sqrt{1 + y^{2}}, x^{2} + y^{2} = 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \sqrt{1 + y^{2}}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 1$ durch $- \sqrt{1 + y^{2}}$ .

${(- \sqrt{1 + y^{2}})}^{2} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache ${(- \sqrt{1 + y^{2}})}^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{1 + y^{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {\sqrt{1 + y^{2}}}^{2} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {\sqrt{1 + y^{2}}}^{2} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4

Schreibe ${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ als $1 + y^{2}$ um.

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Schritt 3.1.2.1.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + y^{2}}$ als ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + y^{2}) + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$(1 + y^{2}) + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.5

Vereinfache.

$1 + y^{2} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$1 + y^{2} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$1 + y^{2} + y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$1 + 2 y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$1 + 2 y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$1 + 2 y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$1 + 2 y^{2} = 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2

Löse in $1 + 2 y^{2} = 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} = 1 - 1$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$2 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{2}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$y^{2} = \frac{0}{2}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$y^{2} = \frac{0}{2}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.2.4.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{1 + y^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \sqrt{1 + y^{2}}$ durch $0$ .

$x = - \sqrt{1 + {(0)}^{2}}$

$y = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \sqrt{1 + {(0)}^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = - \sqrt{1 + 0}$

$y = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$x = - \sqrt{1}$

$y = 0$

Schritt 3.3.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = - 1 \cdot 1$

$y = 0$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

Schritt 4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(1, 0), (- 1, 0)$

Gleichungsform:

$x = 1, y = 0$

$x = - 1, y = 0$

Schritt 6