Algebra Beispiele

y = (x + 2) (x - 3)

$y = (x + 2) (x - 3)$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.1.1

Multipliziere

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

x (x - 3) + 2 (x - 3)

$x (x - 3) + 2 (x - 3)$

Schritt 1.1.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)$

Schritt 1.1.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.1.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1.2.1.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.1.1.1.2.1.2

Bringe

- 3

$- 3$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.1.1.1.2.1.3

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 3

$- 3$ .

x^{2} - 3 x + 2 x - 6

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

x^{2} - 3 x + 2 x - 6

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

Schritt 1.1.1.1.2.2

Addiere

- 3 x

$- 3 x$ und

2 x

$2 x$ .

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

Schritt 1.1.1.2

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = 1

$a = 1$

b = - 1

$b = - 1$

c = - 6

$c = - 6$

Schritt 1.1.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 1

$- 1$ und

1

$1$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Schreibe

- 1

$- 1$ als

- 1 (1)

$- 1 (1)$ um.

d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.1.5

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.5.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.1

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.2

$- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{4}{4}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.3

Kombiniere

$- 6$ und

$\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 6 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.5.2.5.1

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$4$ .

$e = \frac{- 24 - 1}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.5.2

Subtrahiere

$1$ von

$- 24$ .

$e = \frac{- 25}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.1.6

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ ein.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.2

Setze

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

$a$ ,

$h$ und

$k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

Schritt 1.3

Da der Wert von

$a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt

$(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Schritt 1.5

Berechne

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von

$a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

$p$ zur y-Koordinate

$k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von

$p$ von der y-Koordinate

$k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{13}{2}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Brennpunkt:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Symmetrieachse:

$x = \frac{1}{2}$

Leitlinie:

$y = - \frac{13}{2}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Brennpunkt:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Symmetrieachse:

$x = \frac{1}{2}$

Leitlinie:

$y = - \frac{13}{2}$

Schritt 2

Wähle einige

$x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden

$y$ -Werte zu ermitteln. Die

$x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 1$ .

$f (- 1) = ((- 1) + 2) ((- 1) - 3)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Addiere

$- 1$ und

$2$ .

$f (- 1) = 1 ((- 1) - 3)$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere

$(- 1) - 3$ mit

$1$ .

$f (- 1) = (- 1) - 3$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere

$3$ von

$- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist

$- 4$ .

$- 4$

Schritt 2.3

Der

$y$ -Wert bei

$x = - 1$ ist

$- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 2$ .

$f (- 2) = ((- 2) + 2) ((- 2) - 3)$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Addiere

$- 2$ und

$2$ .

$f (- 2) = 0 ((- 2) - 3)$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere

$3$ von

$- 2$ .

$f (- 2) = 0 \cdot - 5$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 5$ .

$f (- 2) = 0$

Schritt 2.5.4

Die endgültige Lösung ist

$0$ .

$0$

Schritt 2.6

Der

$y$ -Wert bei

$x = - 2$ ist

$0$ .

$y = 0$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f (1) = ((1) + 2) ((1) - 3)$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Addiere

$1$ und

$2$ .

$f (1) = 3 ((1) - 3)$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere

$3$ von

$1$ .

$f (1) = 3 \cdot - 2$

Schritt 2.8.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 2$ .

$f (1) = - 6$

Schritt 2.8.4

Die endgültige Lösung ist

$- 6$ .

$- 6$

Schritt 2.9

Der

$y$ -Wert bei

$x = 1$ ist

$- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$2$ .

$f (2) = ((2) + 2) ((2) - 3)$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Addiere

$2$ und

$2$ .

$f (2) = 4 ((2) - 3)$

Schritt 2.11.2

Subtrahiere

$3$ von

$2$ .

$f (2) = 4 \cdot - 1$

Schritt 2.11.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 1$ .

$f (2) = - 4$

Schritt 2.11.4

Die endgültige Lösung ist

$- 4$ .

$- 4$

Schritt 2.12

Der

$y$ -Wert bei

$x = 2$ ist

$- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Brennpunkt:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Symmetrieachse:

$x = \frac{1}{2}$

Leitlinie:

$y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Schritt 4