Algebra Beispiele

${(1 - x)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(1)}^{3 - k} \cdot {(- x)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{3 - 0} \cdot {(- x)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{3 - 1} \cdot {(- x)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{3 - 2} \cdot {(- x)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{3 - 3} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(- x)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit ${(1)}^{3}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{3} \cdot {(- x)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1^{1 + 3} \cdot {(- x)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$1^{4} \cdot {(- x)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache $1^{4} \cdot {(- x)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1 \cdot {(- x)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 \cdot {(- x)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

$1 + 3 \cdot (- x) + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 x + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.8

Berechne den Exponenten.

$1 - 3 x + 3 \cdot 1 \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 - 3 x + 3 \cdot {(- x)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$1 - 3 x + 3 \cdot ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.11

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 3 x + 3 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$1 - 3 x + 3 \cdot x^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.13

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.13.1

Mutltipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ .

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Schritt 4.13.1.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$1 - 3 x + 3 x^{2} + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - 3 x + 3 x^{2} + 1^{1 + 0} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.13.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 3 x + 3 x^{2} + 1^{1} \cdot {(- x)}^{3}$

Schritt 4.14

Vereinfache $1^{1} \cdot {(- x)}^{3}$ .

$1 - 3 x + 3 x^{2} + {(- x)}^{3}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$1 - 3 x + 3 x^{2} + {(- 1)}^{3} x^{3}$

Schritt 4.16

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3}$