Algebra Beispiele

2 x^{2} + x - 15 = 0

$2 x^{2} + x - 15 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30

$a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ und deren Summe gleich

b = 1

$b = 1$ ist.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere mit

1

$1$ .

2 x^{2} + 1 x - 15 = 0

$2 x^{2} + 1 x - 15 = 0$

Schritt 1.1.2

Schreibe

1

$1$ um als

- 5

$- 5$ plus

6

$6$

2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15 = 0

$2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15 = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15 = 0

$2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15 = 0$

2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15 = 0

$2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

(2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15 = 0

$(2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5) = 0

$x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5) = 0$

x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5) = 0

$x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

2 x - 5

$2 x - 5$ .

(2 x - 5) (x + 3) = 0

$(2 x - 5) (x + 3) = 0$

(2 x - 5) (x + 3) = 0

$(2 x - 5) (x + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

2 x - 5 = 0

$2 x - 5 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Schritt 3

Setze

2 x - 5

$2 x - 5$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

2 x - 5

$2 x - 5$ gleich

0

$0$ .

2 x - 5 = 0

$2 x - 5 = 0$

Schritt 3.2

Löse

2 x - 5 = 0

$2 x - 5 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere

5

$5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 x = 5

$2 x = 5$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in

2 x = 5

$2 x = 5$ durch

2

$2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 x = 5

$2 x = 5$ durch

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 4

Setze

x + 3

$x + 3$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

x + 3

$x + 3$ gleich

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere

3

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(2 x - 5) (x + 3) = 0

$(2 x - 5) (x + 3) = 0$ wahr machen.

x = \frac{5}{2}, - 3

$x = \frac{5}{2}, - 3$