Algebra Beispiele

y = 10 x^{2}

$y = 10 x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf

10 x^{2}

$10 x^{2}$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = 10

$a = 10$

b = 0

$b = 0$

c = 0

$c = 0$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{0}{2 \cdot 10}

$d = \frac{0}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

0

$0$ und

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

0

$0$ heraus.

d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 10}

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 10

$2 \cdot 10$ heraus.

d = \frac{2 (0)}{2 (10)}

$d = \frac{2 (0)}{2 (10)}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 10}

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

d = \frac{0}{10}

$d = \frac{0}{10}$

d = \frac{0}{10}

$d = \frac{0}{10}$

d = \frac{0}{10}

$d = \frac{0}{10}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

0

$0$ und

10

$10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere

10

$10$ aus

0

$0$ heraus.

d = \frac{10 (0)}{10}

$d = \frac{10 (0)}{10}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere

10

$10$ aus

10

$10$ heraus.

d = \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}

$d = \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

d = \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}

$d = \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

d = \frac{0}{1}

$d = \frac{0}{1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.4

Dividiere

0

$0$ durch

1

$1$ .

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von

e

$e$ mithilfe der Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von

c

$c$ ,

b

$b$ , und

a

$a$ in die Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 10}

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 10}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 10}

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 10}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere

4

$4$ mit

10

$10$ .

e = 0 - \frac{0}{40}

$e = 0 - \frac{0}{40}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Dividiere

0

$0$ durch

40

$40$ .

e = 0 - 0

$e = 0 - 0$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

e = 0 + 0

$e = 0 + 0$

e = 0 + 0

$e = 0 + 0$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Addiere

0

$0$ und

0

$0$ .

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von

a

$a$ ,

d

$d$ und

e

$e$ in die Scheitelform

10 x^{2}

$10 x^{2}$ ein.

10 x^{2}

$10 x^{2}$

10 x^{2}

$10 x^{2}$

Schritt 1.1.2

Setze

y

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

y = 10 x^{2}

$y = 10 x^{2}$

y = 10 x^{2}

$y = 10 x^{2}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ zu ermitteln.

a = 10

$a = 10$

h = 0

$h = 0$

k = 0

$k = 0$

Schritt 1.3

Da der Wert von

a

$a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt

(h, k)

$(h, k)$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Schritt 1.5

Berechne

p

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von

a

$a$ in die Formel ein.

\frac{1}{4 \cdot 10}

$\frac{1}{4 \cdot 10}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere

4

$4$ mit

10

$10$ .

\frac{1}{40}

$\frac{1}{40}$

\frac{1}{40}

$\frac{1}{40}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

p

$p$ zur y-Koordinate

k

$k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

p

$p$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

(0, \frac{1}{40})

$(0, \frac{1}{40})$

(0, \frac{1}{40})

$(0, \frac{1}{40})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

x = 0

$x = 0$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von

p

$p$ von der y-Koordinate

k

$k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

y = k - p

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von

p

$p$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

y = - \frac{1}{40}

$y = - \frac{1}{40}$

y = - \frac{1}{40}

$y = - \frac{1}{40}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

(0, 0)

$(0, 0)$

Brennpunkt:

(0, \frac{1}{40})

$(0, \frac{1}{40})$

Symmetrieachse:

x = 0

$x = 0$

Leitlinie:

y = - \frac{1}{40}

$y = - \frac{1}{40}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

(0, 0)

$(0, 0)$

Brennpunkt:

(0, \frac{1}{40})

$(0, \frac{1}{40})$

Symmetrieachse:

$x = 0$

Leitlinie:

$y = - \frac{1}{40}$

Schritt 2

Wähle einige

$x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden

$y$ -Werte zu ermitteln. Die

$x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 1$ .

$f (- 1) = 10 {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$f (- 1) = 10 \cdot 1$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere

$10$ mit

$1$ .

$f (- 1) = 10$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist

$10$ .

$10$

Schritt 2.3

Der

$y$ -Wert bei

$x = - 1$ ist

$10$ .

$y = 10$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f (1) = 10 {(1)}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 10 \cdot 1$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere

$10$ mit

$1$ .

$f (1) = 10$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist

$10$ .

$10$

Schritt 2.6

Der

$y$ -Wert bei

$x = 1$ ist

$10$ .

$y = 10$

Schritt 2.7

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 10 \\ 0 & 0 \\ 1 & 10 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(0, 0)$

Brennpunkt:

$(0, \frac{1}{40})$

Symmetrieachse:

$x = 0$

Leitlinie:

$y = - \frac{1}{40}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 10 \\ 0 & 0 \\ 1 & 10 \end{array}$

Schritt 4