Algebra Beispiele

$16 x^{4} - 41 x^{2} + 25 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$16 {(x^{2})}^{2} - 41 x^{2} + 25 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$16 u^{2} - 41 u + 25 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 16 \cdot 25 = 400$ und deren Summe gleich $b = - 41$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 41$ aus $- 41 u$ heraus.

$16 u^{2} - 41 u + 25 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 41$ um als $- 16$ plus $- 25$

$16 u^{2} + (- 16 - 25) u + 25 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 u^{2} - 16 u - 25 u + 25 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(16 u^{2} - 16 u) - 25 u + 25 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$16 u (u - 1) - 25 (u - 1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 1$ .

$(u - 1) (16 u - 25) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (16 x^{2} - 25) = 0$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} - 1^{2}) (16 x^{2} - 25) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (16 x^{2} - 25) = 0$

Schritt 7

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$(x + 1) (x - 1) ({(4 x)}^{2} - 25) = 0$

Schritt 8

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(x + 1) (x - 1) ({(4 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x$ und $b = 5$ .

$(x + 1) (x - 1) ((4 x + 5) (4 x - 5)) = 0$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) (4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Schritt 11

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 12

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 13

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Schritt 13.2

Löse $4 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 5$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Schritt 13.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{4}$

Schritt 14

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Schritt 14.2

Löse $4 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5$

Schritt 14.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 14.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) (4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$