Algebra Beispiele

$z^{4} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Schritt 1

Schreibe $z^{4}$ als ${(z^{2})}^{2}$ um.

${(z^{2})}^{2} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = z^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $z^{2}$ .

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 13 u + 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $36$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 9, - 4$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $z^{2}$ .

$(z^{2} - 9) (z^{2} - 4) = 0$

Schritt 5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(z^{2} - 3^{2}) (z^{2} - 4) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = 3$ .

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 4) = 0$

Schritt 7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = 2$ .

$(z + 3) (z - 3) ((z + 2) (z - 2)) = 0$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z + 3 = 0$

$z - 3 = 0$

$z + 2 = 0$

$z - 2 = 0$

Schritt 10

Setze $z + 3$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $z + 3$ gleich $0$ .

$z + 3 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 3$

Schritt 11

Setze $z - 3$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $z - 3$ gleich $0$ .

$z - 3 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 3$

Schritt 12

Setze $z + 2$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $z + 2$ gleich $0$ .

$z + 2 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 2$

Schritt 13

Setze $z - 2$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $z - 2$ gleich $0$ .

$z - 2 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 2$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$ wahr machen.

$z = - 3, 3, - 2, 2$