Algebra Beispiele

$\frac{6 x}{x - 6} = 9 + \frac{7 x^{2}}{x - 6}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{6 x}{x - 6} - 9 = \frac{7 x^{2}}{x - 6}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{7 x^{2}}{x - 6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{6 x}{x - 6} - 9 - \frac{7 x^{2}}{x - 6} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{6 x}{x - 6} - 9 - \frac{7 x^{2}}{x - 6}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $- 9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{6 x}{x - 6} + \frac{- 9}{1} - \frac{7 x^{2}}{x - 6} = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6 x}{x - 6} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{7 x^{2}}{x - 6} = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6 x}{x - 6} + \frac{- 9 (x - 6)}{x - 6} - \frac{7 x^{2}}{x - 6} = 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 x - 9 (x - 6) - 7 x^{2}}{x - 6} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x - 9 x - 9 \cdot - 6 - 7 x^{2}}{x - 6} = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 6$ .

$\frac{6 x - 9 x + 54 - 7 x^{2}}{x - 6} = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $9 x$ von $6 x$ .

$\frac{- 3 x + 54 - 7 x^{2}}{x - 6} = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 7 x^{2} - 3 x + 54}{x - 6} = 0$

Schritt 2.5.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 7 \cdot 54 = - 378$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- 7 x^{2} - 3 (x) + 54}{x - 6} = 0$

Schritt 2.5.2.2

Schreibe $- 3$ um als $18$ plus $- 21$

$\frac{- 7 x^{2} + (18 - 21) x + 54}{x - 6} = 0$

Schritt 2.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 7 x^{2} + 18 x - 21 x + 54}{x - 6} = 0$

Schritt 2.5.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 7 x^{2} + 18 x) - 21 x + 54}{x - 6} = 0$

Schritt 2.5.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- 7 x + 18) + 3 (- 7 x + 18)}{x - 6} = 0$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 7 x + 18$ .

$\frac{(- 7 x + 18) (x + 3)}{x - 6} = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x$ heraus.

$\frac{(- (7 x) + 18) (x + 3)}{x - 6} = 0$

Schritt 2.7

Schreibe $18$ als $- 1 (- 18)$ um.

$\frac{(- (7 x) - 1 (- 18)) (x + 3)}{x - 6} = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 x) - 1 (- 18)$ heraus.

$\frac{- (7 x - 18) (x + 3)}{x - 6} = 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (7 x - 18)$ als $- 1 (7 x - 18)$ um.

$\frac{- 1 (7 x - 18) (x + 3)}{x - 6} = 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(7 x - 18) (x + 3)}{x - 6} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(7 x - 18) (x + 3) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x - 18 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Setze $7 x - 18$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $7 x - 18$ gleich $0$ .

$7 x - 18 = 0$

Schritt 4.2.2

Löse $7 x - 18 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 18$

Schritt 4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 18$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 18$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{18}{7}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{18}{7}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{18}{7}$

Schritt 4.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 x - 18) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{18}{7}, - 3$