Algebra Beispiele

$\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 = \frac{2 x}{x - 4}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2 x}{x - 4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 - \frac{2 x}{x - 4}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{64}{x^{2} - 4^{2}} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{2 x}{x - 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 4) (x - 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x - 4}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 4) (x + 4)$ um.

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 - 2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $64 - 2 x (x + 4)$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{2 (32) - 2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x (x + 4)$ heraus.

$\frac{2 (32) + 2 (- x (x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (32) + 2 (- x (x + 4))$ heraus.

$\frac{2 (32 - x (x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (32 - x \cdot x - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (32 - (x \cdot x) - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (32 - x^{2} - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (32 - x^{2} - 4 x)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- x^{2} - 4 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.1.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 2.5.1.6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} - 4 (x) + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.6.1.2

Schreibe $- 4$ um als $4$ plus $- 8$

$\frac{2 (- x^{2} + (4 - 8) x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x - 8 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.1.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- x^{2} + 4 x) - 8 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x (- x + 4) + 8 (- x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.1.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 4$ .

$\frac{2 ((- x + 4) (x + 8))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

$\frac{2 (- x + 4) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 4$ und $x - 4$ .

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 4) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.2.4

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Schritt 2.5.2.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1) (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

Schritt 2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

Schritt 2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 (x + 8)}{x + 4} + \frac{x + 4}{x + 4} = 0$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 (x + 8) + x + 4}{x + 4} = 0$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 8 + x + 4}{x + 4} = 0$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{- 2 x - 16 + x + 4}{x + 4} = 0$

Schritt 2.8.3

Addiere $- 2 x$ und $x$ .

$\frac{- x - 16 + 4}{x + 4} = 0$

Schritt 2.8.4

Addiere $- 16$ und $4$ .

$\frac{- x - 12}{x + 4} = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 12}{x + 4} = 0$

Schritt 2.10

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (12)}{x + 4} = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (12)$ heraus.

$\frac{- (x + 12)}{x + 4} = 0$

Schritt 2.12

Schreibe $- (x + 12)$ als $- 1 (x + 12)$ um.

$\frac{- 1 (x + 12)}{x + 4} = 0$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 12}{x + 4} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 12 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12$