Algebra Beispiele

$32 x - 16 = 2 x^{3} - x^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 x - 16 - 2 x^{3} = - x^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$32 x - 16 - 2 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 2

Stelle die Terme um.

$- 2 x^{3} + x^{2} + 32 x - 16 = 0$

Schritt 3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- 2 x^{3} + x^{2}) + 32 x - 16 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (- 2 x + 1) - 16 (- 2 x + 1) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 x + 1$ .

$(- 2 x + 1) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(- 2 x + 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(- 2 x + 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(- 2 x + 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 8

Setze $- 2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $- 2 x + 1$ gleich $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $- 2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 10

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- 2 x + 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 4, 4$