Algebra Beispiele

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} = 5$

Schritt 1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um $\frac{x + 3}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{x - 2}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{x - 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{x}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) x$ um.

$\frac{(x + 3) x}{x (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 3) x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.3

Multipliziere $(x - 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + x (x - 1) - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.5

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.7

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.8

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.8.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Schritt 2.6

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} + \frac{- 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.6

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.7

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{- 3 x^{2} + 5 (x) + 2}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.8.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 6) x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- 3 x - 1) - 2 (- 3 x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x - 1$ .

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.11

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe $- (3 x + 1)$ als $- 1 (3 x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(3 x + 1) (x - 2) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, 2$