Algebra Beispiele

$4 x^{8} - 61 x^{4} + 225$

Schritt 1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$4 {(x^{4})}^{2} - 61 x^{4} + 225$

Schritt 2

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$4 u^{2} - 61 u + 225$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 225 = 900$ und deren Summe gleich $b = - 61$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 61$ aus $- 61 u$ heraus.

$4 u^{2} - 61 (u) + 225$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 61$ um als $- 25$ plus $- 36$

$4 u^{2} + (- 25 - 36) u + 225$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 25 u - 36 u + 225$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 25 u) - 36 u + 225$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 25) - 9 (4 u - 25)$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 25$ .

$(4 u - 25) (u - 9)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$(4 x^{4} - 25) (x^{4} - 9)$

Schritt 5

Schreibe $4 x^{4}$ als ${(2 x^{2})}^{2}$ um.

$({(2 x^{2})}^{2} - 25) (x^{4} - 9)$

Schritt 6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$({(2 x^{2})}^{2} - 5^{2}) (x^{4} - 9)$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x^{2}$ und $b = 5$ .

$(2 x^{2} + 5) (2 x^{2} - 5) (x^{4} - 9)$

Schritt 8

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(2 x^{2} + 5) (2 x^{2} - 5) ({(x^{2})}^{2} - 9)$

Schritt 9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(2 x^{2} + 5) (2 x^{2} - 5) ({(x^{2})}^{2} - 3^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 3$ .

$(2 x^{2} + 5) (2 x^{2} - 5) ((x^{2} + 3) (x^{2} - 3))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x^{2} + 5) (2 x^{2} - 5) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$