Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{3} - x^{2} y^{2} = 64$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$x^{2} + {(0)}^{3} - x^{2} {(0)}^{2} = 64$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(0)}^{3} - x^{2} {(0)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} + 0 - x^{2} {(0)}^{2} = 64$

Schritt 1.2.1.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} + 0 - x^{2} \cdot 0 = 64$

Schritt 1.2.1.1.3

Multipliziere $- x^{2} \cdot 0$ .

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 0 + 0 x^{2} = 64$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$x^{2} + 0 + 0 = 64$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 0 + 0$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} + 0 = 64$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} = 64$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 8$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(8, 0), (- 8, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

${(0)}^{2} + y^{3} - {(0)}^{2} y^{2} = 64$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} + y^{3} - {(0)}^{2} y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + y^{3} - {(0)}^{2} y^{2} = 64$

Schritt 2.2.1.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + y^{3} - 0 y^{2} = 64$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + y^{3} + 0 y^{2} = 64$

Schritt 2.2.1.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $y^{2}$ .

$0 + y^{3} + 0 = 64$

Schritt 2.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + y^{3} + 0$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $0$ und $y^{3}$ .

$y^{3} + 0 = 64$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $y^{3}$ und $0$ .

$y^{3} = 64$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} - 64 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$y^{3} - 4^{3} = 0$

Schritt 2.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 4$ .

$(y - 4) (y^{2} + y \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$(y - 4) (y^{2} + 4 y + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(y - 4) (y^{2} + 4 y + 16) = 0$

Schritt 2.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 4 = 0$

$y^{2} + 4 y + 16 = 0$

Schritt 2.2.5

Setze $y - 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $y - 4$ gleich $0$ .

$y - 4 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4$

Schritt 2.2.6

Setze $y^{2} + 4 y + 16$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Setze $y^{2} + 4 y + 16$ gleich $0$ .

$y^{2} + 4 y + 16 = 0$

Schritt 2.2.6.2

Löse $y^{2} + 4 y + 16 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 2.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.2.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 2.2.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.2.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 2.2.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.2.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 4) (y^{2} + 4 y + 16) = 0$ wahr machen.

$y = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(8, 0), (- 8, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 4