Algebra Beispiele

$2 x^{2} - x - 6 = 0$

Schritt 1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - x = 6$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} - x = 6$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} - x = 6$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- x}{2} = \frac{6}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- x}{2} = \frac{6}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- x}{2} = \frac{6}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{x}{2} = \frac{6}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} = 3$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - \frac{x}{2} + {(- \frac{1}{4})}^{2} = 3 + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} = 3 + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} = 3 + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + 1 \frac{1^{2}}{4^{2}} = 3 + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1^{2}}{4^{2}} = 3 + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4^{2}} = 3 + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = 3 + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $3 + {(- \frac{1}{4})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = 3 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = 3 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = 3 + 1 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = 3 + \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = 3 + \frac{1}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = 3 + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = 3 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{48 + 1}{16}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $48$ und $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{49}{16}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{1}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{49}{16}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{49}{16}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{49}{16}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{49}{16}}$ als $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}$ um.

$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{7}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{7}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{7}{4}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{7}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 + 1}{4}$

Schritt 7.3.2.3

Addiere $7$ und $1$ .

$x = \frac{8}{4}$

Schritt 7.3.2.4

Dividiere $8$ durch $4$ .

$x = 2$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{4} = - \frac{7}{4}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{7}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 7 + 1}{4}$

Schritt 7.3.4.3

Addiere $- 7$ und $1$ .

$x = \frac{- 6}{4}$

Schritt 7.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 7.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{2 (- 3)}{4}$

Schritt 7.3.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.3.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - \frac{3}{2}$