Algebra Beispiele

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{5}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{5} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{5}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{(x + 4) \cdot 5}{(x + 4) \cdot 5}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 4) \cdot 5}{(x + 4) \cdot 5} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{5} = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{(x + 4) \cdot 5}{(x + 4) \cdot 5}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{5} = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 4}$ mit $\frac{x \cdot 5}{x \cdot 5}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x \cdot 5}{x \cdot 5} - \frac{1}{5} = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 4}$ mit $\frac{x \cdot 5}{x \cdot 5}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{x \cdot 5}{(x + 4) (x \cdot 5)} - \frac{1}{5} = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{x \cdot 5}{(x + 4) (x \cdot 5)} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}) = 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{x \cdot 5}{(x + 4) (x \cdot 5)} - \frac{x (x + 4)}{5 (x (x + 4))} = 0$

Schritt 2.1.7

Stelle die Faktoren von $x ((x + 4) \cdot 5)$ um.

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{5 x (x + 4)} + \frac{x \cdot 5}{(x + 4) (x \cdot 5)} - \frac{x (x + 4)}{5 (x (x + 4))} = 0$

Schritt 2.1.8

Stelle die Faktoren von $(x + 4) (x \cdot 5)$ um.

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{5 x (x + 4)} + \frac{x \cdot 5}{5 x (x + 4)} - \frac{x (x + 4)}{5 (x (x + 4))} = 0$

Schritt 2.1.9

Stelle die Faktoren von $5 (x (x + 4))$ um.

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{5 x (x + 4)} + \frac{x \cdot 5}{5 x (x + 4)} - \frac{x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 4) \cdot 5 + x \cdot 5 - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 5 + 4 \cdot 5 + x \cdot 5 - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{5 \cdot x + 4 \cdot 5 + x \cdot 5 - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{5 \cdot x + 20 + x \cdot 5 - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.3.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{5 x + 20 + 5 \cdot x - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x + 20 + 5 x - x \cdot x - x \cdot 4}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.3.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 x + 20 + 5 x - (x \cdot x) - x \cdot 4}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x + 20 + 5 x - x^{2} - x \cdot 4}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{5 x + 20 + 5 x - x^{2} - 4 x}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.4

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$\frac{10 x + 20 - x^{2} - 4 x}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $4 x$ von $10 x$ .

$\frac{6 x + 20 - x^{2}}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 6 x + 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 6 x + 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 6 x) + 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 6 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 6 x) + 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.10

Schreibe $20$ als $- 1 (- 20)$ um.

$\frac{- (x^{2} - 6 x) - 1 (- 20)}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 6 x) - 1 (- 20)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 6 x - 20)}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.12

Schreibe $- (x^{2} - 6 x - 20)$ als $- 1 (x^{2} - 6 x - 20)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 6 x - 20)}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 6 x - 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 6 x - 20 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = - 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $36$ und $80$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $116$ als $2^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $116$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{29}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Addiere $36$ und $80$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $116$ als $2^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 4.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $116$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{29}$

Schritt 4.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 3 + \sqrt{29}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $36$ und $80$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $116$ als $2^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $116$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{29}$

Schritt 4.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 3 - \sqrt{29}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + \sqrt{29}, 3 - \sqrt{29}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3 + \sqrt{29}, 3 - \sqrt{29}$

Dezimalform:

$x = 8.38516480 \dots, - 2.38516480 \dots$