Algebra Beispiele

$\frac{y + 7}{y^{2} - 7 y + 10} - \frac{7}{y^{2} - 25}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y^{2} - 7 y + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 5, - 2$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{y^{2} - 25}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{y^{2} - 5^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 5$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$

Schritt 2

Um $\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$

Schritt 3

Um $- \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y - 5) (y - 2) (y + 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)}$ mit $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y - 5) (y - 2) (y + 5)} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$ mit $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y - 5) (y - 2) (y + 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 5) (y - 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(y - 5) (y - 2) (y + 5)$ um.

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 5) (y - 2)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(y + 5) (y - 5) (y - 2)$ um.

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(y + 7) (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(y + 7) (y + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (y + 5) + 7 (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 5 + 7 (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 5 + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 5 + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{y^{2} + 5 \cdot y + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$\frac{y^{2} + 5 y + 7 y + 35 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $5 y$ und $7 y$ .

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 y - 7 \cdot - 2}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 2$ .

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 y + 14}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $7 y$ von $12 y$ .

$\frac{y^{2} + 5 y + 35 + 14}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Schritt 6.6

Addiere $35$ und $14$ .

$\frac{y^{2} + 5 y + 49}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$