Algebra Beispiele

$x^{3} + x^{2} = 25 x + 25$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $25 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + x^{2} - 25 x = 25$

Schritt 1.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Schritt 2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} + x^{2}) - 25 x - 25 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x + 1) - 25 (x + 1) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - 25) = 0$

Schritt 4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(x + 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x + 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 9

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 5, 5$