Algebra Beispiele

$| x^{2} - 2 x | = 1$

Schritt 1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 2 x = \pm 1$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x^{2} - 2 x = 1$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 2.7

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x^{2} - 2 x = - 1$

Schritt 2.8

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Schritt 2.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 2.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.10

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.11

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.12

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}, 1$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}, 1$

Dezimalform:

$x = 2.41421356 \dots, - 0.41421356 \dots, 1$