Algebra Beispiele

$9 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Schritt 1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 x^{3} - 3 x^{2}) - 3 x + 1 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x^{2} (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$3 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 5

Setze $3 x^{2} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $3 x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x^{2} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (3 x^{2} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{3}, 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$