Algebra Beispiele

$27 x^{3} + 125 = 0$

Schritt 1

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

${(3 x)}^{3} + 125 = 0$

Schritt 2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

${(3 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 5$ .

$(3 x + 5) ({(3 x)}^{2} - 3 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$(3 x + 5) (3^{2} x^{2} - 3 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(3 x + 5) (9 x^{2} - 3 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(3 x + 5) (9 x^{2} - 3 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$(3 x + 5) (9 x^{2} - 15 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 4.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(3 x + 5) (9 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$9 x^{2} - 15 x + 25 = 0$

Schritt 6

Setze $3 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 x + 5$ gleich $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 5$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{3}$

Schritt 7

Setze $9 x^{2} - 15 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $9 x^{2} - 15 x + 25$ gleich $0$ .

$9 x^{2} - 15 x + 25 = 0$

Schritt 7.2

Löse $9 x^{2} - 15 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 15$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 25)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 9 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 25$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 36 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $25$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $900$ von $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 675$ als $- 1 (675)$ um.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (675)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ um.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.7

Schreibe $675$ als $15^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $225$ aus $675$ heraus.

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.7.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.9

Bringe $15$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache $\frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1.1

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 9 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 25$ .

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Schritt 7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 36 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $25$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.3

Subtrahiere $900$ von $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.4

Schreibe $- 675$ als $- 1 (675)$ um.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (675)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ um.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.7

Schreibe $675$ als $15^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $225$ aus $675$ heraus.

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.7.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.9

Bringe $15$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache $\frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1.1

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 9 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 25$ .

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Schritt 7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 36 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $25$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.3

Subtrahiere $900$ von $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.4

Schreibe $- 675$ als $- 1 (675)$ um.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (675)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ um.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.7

Schreibe $675$ als $15^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $225$ aus $675$ heraus.

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.7.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.9

Bringe $15$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 7.2.5.3

Vereinfache $\frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 5) (9 x^{2} - 15 x + 25) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{3}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{6}$