Algebra Beispiele

$\frac{3 x}{x + 1} = \frac{12}{x^{2} - 1} + 2$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{12}{x^{2} - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} = 2$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1^{2}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{3 x}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{3 x}{x + 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x (x - 1) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x (x - 1) - 12$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x (x - 1)$ heraus.

$\frac{3 (x (x - 1)) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{3 (x (x - 1) - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.5.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.5.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Schritt 2.6

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 2$ und $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (x^{2} - x - 4) - 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.2

Vereinfache.

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Schritt 2.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.5

Multipliziere $(- 2 x - 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.9.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.6.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.6.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.6.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 12 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.8

Addiere $- 12$ und $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.9

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.9.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 2.9.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 2$