Algebra Beispiele

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x + 6) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (x + 6)) = 3$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 6) = 3$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot 6) = 3$

Schritt 1.3.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{3} = x^{2} + 6 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 6 x = 3^{3}$ um.

$x^{2} + 6 x = 3^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + 6 x = 27$

Schritt 3.3

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x - 27 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} + 6 x - 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 27$ und deren Summe $6$ ist.

$- 3, 9$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 9) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.7

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 9$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (x) + \log_{3} (x + 6) = 3$ nicht erfüllen.

$x = 3$