Algebra Beispiele

$x^{6} + 16 x^{3} + 64$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} + 16 x^{3} + 64$

Schritt 2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} + 16 u + 64$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$u^{2} + 16 u + 8^{2}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 u = 2 \cdot u \cdot 8$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 8 + 8^{2}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 8$ .

${(u + 8)}^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

${(x^{3} + 8)}^{2}$

Schritt 5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

${(x^{3} + 2^{3})}^{2}$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

${((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}^{2}$

Schritt 7.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

${((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}^{2}$

Schritt 8

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ an.

${(x + 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x + 4)}^{2}$