Algebra Beispiele

$30 x - 11 = \frac{30}{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{30}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 x - 11 - \frac{30}{x} = 0$

Schritt 2

Stelle die Terme um.

$30 x - \frac{30}{x} - 11 = 0$

Schritt 3

Um $30 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{30 x \cdot x}{x} - \frac{30}{x} - 11 = 0$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{30 x \cdot x - 30}{x} - 11 = 0$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $30$ aus $30 x \cdot x - 30$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $30$ aus $30 x \cdot x$ heraus.

$\frac{30 (x \cdot x) - 30}{x} - 11 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $30$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{30 (x \cdot x) + 30 (- 1)}{x} - 11 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $30$ aus $30 (x \cdot x) + 30 (- 1)$ heraus.

$\frac{30 (x \cdot x - 1)}{x} - 11 = 0$

Schritt 5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{30 (x \cdot x - 1)}{x} - 11 = 0$

Schritt 5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{30 (x \cdot x - 1)}{x} - 11 = 0$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 (x^{1 + 1} - 1)}{x} - 11 = 0$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{30 (x^{2} - 1)}{x} - 11 = 0$

Schritt 5.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{30 (x^{2} - 1^{2})}{x} - 11 = 0$

Schritt 5.7

Faktorisiere.

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Schritt 5.7.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{30 ((x + 1) (x - 1))}{x} - 11 = 0$

Schritt 5.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{30 (x + 1) (x - 1)}{x} - 11 = 0$

Schritt 6

Um $- 11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{30 (x + 1) (x - 1)}{x} - 11 \cdot \frac{x}{x} = 0$

Schritt 7

Kombiniere $- 11$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{30 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- 11 x}{x} = 0$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{30 (x + 1) (x - 1) - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(30 x + 30 \cdot 1) (x - 1) - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$\frac{(30 x + 30) (x - 1) - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.3

Multipliziere $(30 x + 30) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 x (x - 1) + 30 (x - 1) - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 x \cdot x + 30 x \cdot - 1 + 30 (x - 1) - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 x \cdot x + 30 x \cdot - 1 + 30 x + 30 \cdot - 1 - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{30 (x \cdot x) + 30 x \cdot - 1 + 30 x + 30 \cdot - 1 - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{30 x^{2} + 30 x \cdot - 1 + 30 x + 30 \cdot - 1 - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$\frac{30 x^{2} - 30 x + 30 x + 30 \cdot - 1 - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.4.1.3

Mutltipliziere $30$ mit $- 1$ .

$\frac{30 x^{2} - 30 x + 30 x - 30 - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.4.2

Addiere $- 30 x$ und $30 x$ .

$\frac{30 x^{2} + 0 - 30 - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.4.3

Addiere $30 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{30 x^{2} - 30 - 11 x}{x} = 0$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{30 x^{2} - 11 x - 30}{x} = 0$

Schritt 9.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 30 \cdot - 30 = - 900$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 9.6.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$\frac{30 x^{2} - 11 x - 30}{x} = 0$

Schritt 9.6.1.2

Schreibe $- 11$ um als $25$ plus $- 36$

$\frac{30 x^{2} + (25 - 36) x - 30}{x} = 0$

Schritt 9.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 x^{2} + 25 x - 36 x - 30}{x} = 0$

Schritt 9.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(30 x^{2} + 25 x) - 36 x - 30}{x} = 0$

Schritt 9.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{5 x (6 x + 5) - 6 (6 x + 5)}{x} = 0$

Schritt 9.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 x + 5$ .

$\frac{(6 x + 5) (5 x - 6)}{x} = 0$

Schritt 10

Setze den Zähler gleich Null.

$(6 x + 5) (5 x - 6) = 0$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$6 x + 5 = 0$

$5 x - 6 = 0$

Schritt 11.2

Setze $6 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Setze $6 x + 5$ gleich $0$ .

$6 x + 5 = 0$

Schritt 11.2.2

Löse $6 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - 5$

Schritt 11.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 5$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 5$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Schritt 11.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 11.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Schritt 11.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Schritt 11.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{6}$

Schritt 11.3

Setze $5 x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.1

Setze $5 x - 6$ gleich $0$ .

$5 x - 6 = 0$

Schritt 11.3.2

Löse $5 x - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 6$

Schritt 11.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 11.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 6$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Schritt 11.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 11.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Schritt 11.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{5}$

Schritt 11.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(6 x + 5) (5 x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{6}, \frac{6}{5}$