Algebra Beispiele

$3 x^{2} = 16 x + 12$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 16 x = 12$

Schritt 1.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 x$ heraus.

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 16$ um als $2$ plus $- 18$

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 4

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 5

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, 6$