Algebra Beispiele

$2 x = \sqrt{7 x + 2}$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{7 x + 2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - \sqrt{7 x + 2} = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{7 x + 2} = - 2 x$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{7 x + 2})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x + 2}$ als ${(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(- {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere ${({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(7 x + 2)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache.

$7 x + 2 = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(- 2 x)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$7 x + 2 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Schritt 4.3.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$7 x + 2 = 4 x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x + 2 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $7 x + 2 - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 5.2.1.1.1

Bewege $2$ .

$7 x - 4 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 5.2.1.1.2

Stelle $7 x$ und $- 4 x^{2}$ um.

$- 4 x^{2} + 7 x + 2 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- (4 x^{2}) + 7 x + 2 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $7 x$ heraus.

$- (4 x^{2}) - (- 7 x) + 2 = 0$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- (4 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - (- 7 x)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 5.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} - 7 x) - 1 (- 2)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 7 x - 2) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$- (4 x^{2} - 7 x - 2) = 0$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Schreibe $- 7$ um als $1$ plus $- 8$

$- (4 x^{2} + (1 - 8) x - 2) = 0$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (4 x^{2} + 1 x - 8 x - 2) = 0$

Schritt 5.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- (4 x^{2} + x - 8 x - 2) = 0$

Schritt 5.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((4 x^{2} + x) - 8 x - 2) = 0$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (4 x + 1) - 2 (4 x + 1)) = 0$

Schritt 5.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 1$ .

$- ((4 x + 1) (x - 2)) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (4 x + 1) (x - 2) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 5.4

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 5.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (4 x + 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, 2$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $2 x - \sqrt{7 x + 2} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 2$