Algebra Beispiele

$25^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Schritt 1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

${(5^{2})}^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Schritt 2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{2 x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5^{2 x + x^{2}} = 625^{2}$

Schritt 4

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{2 x + x^{2}} = 5^{4 \cdot 2}$

Schritt 5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 x + x^{2} = 4 \cdot 2$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$2 x + x^{2} = 8$

Schritt 6.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + x^{2} - 8 = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2 u + u^{2} - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

Schritt 6.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Schritt 6.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Schritt 6.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 6.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 4$