Algebra Beispiele

25^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}

$25^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Schritt 1

Schreibe

25

$25$ als

5^{2}

$5^{2}$ um.

{(5^{2})}^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}

${(5^{2})}^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Schritt 2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

5^{2 x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}

$5^{2 x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

5^{2 x + x^{2}} = 625^{2}

$5^{2 x + x^{2}} = 625^{2}$

Schritt 4

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

5^{2 x + x^{2}} = 5^{4 \cdot 2}

$5^{2 x + x^{2}} = 5^{4 \cdot 2}$

Schritt 5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

2 x + x^{2} = 4 \cdot 2

$2 x + x^{2} = 4 \cdot 2$

Schritt 6

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

2 x + x^{2} = 8

$2 x + x^{2} = 8$

Schritt 6.2

Subtrahiere

8

$8$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x + x^{2} - 8 = 0

$2 x + x^{2} - 8 = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Es sei

u = x

$u = x$ . Ersetze

u

$u$ für alle

x

$x$ .

2 u + u^{2} - 8 = 0

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere

2 u + u^{2} - 8

$2 u + u^{2} - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.3.2.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 8

$- 8$ und deren Summe

2

$2$ ist.

- 2, 4

$- 2, 4$

Schritt 6.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(u - 2) (u + 4) = 0

$(u - 2) (u + 4) = 0$

(u - 2) (u + 4) = 0

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Schritt 6.3.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

x

$x$ .

(x - 2) (x + 4) = 0

$(x - 2) (x + 4) = 0$

(x - 2) (x + 4) = 0

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Schritt 6.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x + 4 = 0

$x + 4 = 0$

Schritt 6.5

Setze

x - 2

$x - 2$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze

x - 2

$x - 2$ gleich

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Schritt 6.6

Setze

x + 4

$x + 4$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze

x + 4

$x + 4$ gleich

0

$0$ .

x + 4 = 0

$x + 4 = 0$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere

4

$4$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 4

$x = - 4$

x = - 4

$x = - 4$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(x - 2) (x + 4) = 0

$(x - 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

x = 2, - 4

$x = 2, - 4$

x = 2, - 4

$x = 2, - 4$